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幂函数(乘方)|指数(函数)|对数(函数)|及其运算法则  

2015-03-26 15:42:51|  分类: 学科考试 |  标签: |举报 |字号 订阅

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求n个相同因数的积的运算,叫做乘方(power),乘方的结果叫做幂(power),在a^n(n 标在右上角)中,a叫做底数,n叫做指数,当a^n(n标在右上角)看作a的n次方的结果时,也可读作a的n次幂。

比如:3^2=9(2在右上角)这个运算叫做乘方(像1+1=2这个运算叫加法 )在这个式子中,幂就是9,就是这个运算的结果。在这个式子中,底数是3,指数是2。有的时候把这个 a^n 就看做一个结果,就是一个数,读作a的n次幂。在这个式子中,就读3的2次幂。

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乘方是表示几个相同的数成积的形式。它的相同因数叫做底数,乘的次数叫做指数,乘出来的得数(乘方的结果)为幂。
Ex:2^3=8 2是底数,3是指数,8是幂。9^6=531441,9是底数,6是指数,531441是幂。

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数学中的幂

幂指乘方运算的结果。n^m指将n自乘m次。把n^m看作乘方的结果,叫做n的m次幂。

其中,n称为底,m称为指数(写成上标)。

当不能用上标时,例如在编程语言或电子邮件中,通常写成n^m或n**m,亦可以用高德纳箭号表示法,写成n↑m,读作“n的m次方”。  

当指数为1时,通常不写出来,因为那和底的数值一样;指数为2、3时,可以读作“n的平方”、“n的立方”。  

n^m的意义亦可视为1×n×n×n...︰起始值1(乘法的单位元)底数相乘指数这麼多次。

这样定义了后,很易想到如何一般化指数0和负数的情况︰

除了0之外所有数的零次方都是1,即n^0=1;

幂的指数是负数时,等于1/n^m。  

分数为指数的幂定义为x^m/n = n√x^m   

幂不符合结合律和交换律。  

因为十的次方很易计算,只需在後加零即可,所以科学记数法借助此简化记录数的方式;二的次方在计算机科学中很有用。

同底数幂:同底数幂是指底数相同的幂(同底数幂的意义)。

 

关于幂(即指数)的运算法则

幂的运算法则 上海市同洲模范学校/宋立峰

关于整数指数幂,运算法则要记住。

指数加减底不变,同底数幂相乘除。

指数相乘底不变,幂的乘方要清楚。

积商乘方原指数,换底乘方再乘除。(axb)^n=a^n X b^n

非零数的零次幂,常值为1不糊涂。

负整数的指数幂,指数转正求倒数。

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有理数的指数幂,运算法则要记住。
指数加减底不变,同底数幂相乘除。
指数相乘底不变,幂的乘方要清楚。
积商乘方原指数,换底乘方再乘除。
非零数的零次幂,常值为 1不糊涂。
负整数的指数幂,指数转正求倒数。
看到分数指数幂,想到底数必非负。
乘方指数是分子,根指数要当分母。

1、同底数幂的乘法:底数不变,指数相加 a^m·a^n=a^(m+n) (m,n属于有理数)

2、同底数幂除法:底数不变,指数相减 a^m÷a^n=a^(m-n) (a不等于0,m,n属于有理数)

3、幂的乘方:底数不变,指数相乘 (a^m)^n=a^mn );(m,n属于有理数)

4、积的乘方:等于各因数分别乘方的积 a^m·b^m=(ab)^m ;(n属于有理数)

5、商的乘方(分式乘方):分子分母分别乘方,指数不变a^m÷b^m=(a/b)^m

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指数(幂)的计算核心在于两点:一个是指数的基本公式的应用;另一个是转化形式,比如统一底数或指数,然后比较大小。

例:

已知3x3x5,求下列各式的值:(1)9x9x(2)27x27x(3)3x3x.(精英家教网
解析: 

(1)9x9x(3x)2(3x)2(3x3x)22·3x·3x52223

(2)27x27x(3x)3(3x)3(3x3x)[(3x)23x·3x(3x)2](3x3x)(9x9x1)5(231)110

(3)3x3x± 指数的计算 - 古安宅 - HomeForever指数的计算 - 古安宅 - HomeForever

 

点评:整体思想是常见的数学思想之一,通过整体代入、整体运算、整体消元、整体合并等方法,可以将运算过程简化,提高解题效率.另外,对于本题,也可以将3x看成整体作为一个未知数,先求出3x的值,然后再代入求解,但这种解法较繁琐,是一种不经济的解法.

提示:根据已知条件,寻找结论与条件之间的关系,发现可以通过整体变换来解.

 

难点:

数学中的“幂”  - HomeForever - 古#安宅

 

对数:一般地,如果a(a大于0,a不等于1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作b=log aN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。

知识点:对数的概念及其运算性质

 

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a^logb N=N^logb a

 

误区提醒

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幂函数:形如Y=x^a(a为常数)的函数(即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。)

指数函数:指数函数的一般形式为y=a^x(a大于0,a不等于1)(x属于R),它是初等函数的一种,是定义在实数域上的单调、无上界的正值函数。

对数函数:一般地,我们把函数y=log a x(a大于0,a不等于1)叫作对数函数,其中x是自变量,函数的定义域为(0,+无穷)。

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 高中数学必修1对数函数的图像性质(北师大版)

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理解对数函数图象与对数函数性质间的对应关系

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要求掌握对数函数的概念

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对数函数图像、性质及例题

  1、定义:一般地,函数指数的计算 - 古安宅 - HomeForever叫做对数函数,其中x是自变量。

  2、对数函数的性质:

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1. 求值:(1指数的计算 - 古安宅 - HomeForever

2 指数的计算 - 古安宅 - HomeForever

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解析:1指数的计算 - 古安宅 - HomeForever

2指数的计算 - 古安宅 - HomeForever

3

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点评:

1)注意计算公式的灵活运用;

2)同学们在学习时由于分不清指数的计算 - 古安宅 - HomeForever导致计算错误的现象很多;

3指数的计算 - 古安宅 - HomeForever在进行对数运算中经常用到。

 

2. 已知指数的计算 - 古安宅 - HomeForever,求指数的计算 - 古安宅 - HomeForever的值。

解析:

1指数的计算 - 古安宅 - HomeForever

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    所以指数的计算 - 古安宅 - HomeForever

2指数的计算 - 古安宅 - HomeForever从而

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    从而指数的计算 - 古安宅 - HomeForever

点评:解法1借助指数变形来解;解法2与解法3是利用换底公式来解,显得较简明。应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数,从而把已知对数和所求对数都换成新的对数,再代入求值即可。

 

3. 已知指数的计算 - 古安宅 - HomeForever,则ab1的大小关系是________________

解析:

1:由指数的计算 - 古安宅 - HomeForever

    指数的计算 - 古安宅 - HomeForever是增函数,故b > a > 1.

2:设指数的计算 - 古安宅 - HomeForever,则有指数的计算 - 古安宅 - HomeForever,从而指数的计算 - 古安宅 - HomeForever

由已知,x > y > 0

指数的计算 - 古安宅 - HomeForever,考虑到函数指数的计算 - 古安宅 - HomeForever是增函数,所以指数的计算 - 古安宅 - HomeForever,即b > a > 1.

点评:指数函数和对数函数的单调性在比较大小时用处很大,也很灵活。

 
 
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