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不等式的性质、算术平均数与几何平均数  

2015-03-20 14:23:09|  分类: 学科考试 |  标签: |举报 |字号 订阅

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一、重难点知识选讲

1、实数的运算性质与大小顺序之间的关系

  不等式的等价性:两个实数不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever、b比较大小,有大于、等于、小于之别,且有,

  (1)不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever>b 不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever-b>0;

  (2)不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever=b不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever-b=0;

  (3)不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever<b 不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever-b<0.

  等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序,右边不等式反映的则是实数的运算性质,合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系,它是不等式这一章的理论基础,是不等式性质的证明,证明不等式以及解不等式的主要依据.

  本周学习的另一重点是用作差法比较两实数的大小.

  用作差法比较两实数的大小,其步骤为①作差;②变形;③判断差的正负.在解题中应加强化归意识,把比较大小与实数减法运算联系起来,利用实数的运算性质解决比较大小的问题.

2、不等式的性质、推论及证明

  不等式的五个性质和三个推论是不等式这一章的理论依据。

  (1)不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever>b不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForeverb<不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever;(反身性)

  (2)不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever>b,b>c不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever>c;(传递性)

  (3)不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever>b不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever+c>b+c;(两边同加数号不变);推论:移项法则.

  (4)不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever;(两边同乘正数号不变);

  (5)不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever;(两边同乘负数号改变);推论:去系数法则.

  (6)不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever;(同向相加)

  (7)不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever;(异向相减)

  (8)不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever;(同向相乘)

  (9)不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever;(异向相除)

  (10)不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever>b不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever(倒数关系)

  (11)不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever>b>0不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForevern>b n(n不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForeverN+);(不等式的幂)

  (12)不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever>b>0不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever(n不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForeverN+);(不等式的方根)

3、算术平均数与几何平均数

  若a、b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号)通常称为重要不等式.两正数a,b的算术平均数不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever,几何平均数不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever,平方平均数不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever,调和平均数不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever的大小关系为H≤G≤A≤Q(等号当且仅当a=b时取得),这也称作均值不等式.运用重要不等式和均值不等式,可以比较大小,证明不等式,求最值.

  基本不等式有:

  ①不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever;     ②不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

  ③不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever;  ④不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

  ⑤不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

  ⑥不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever.


二、典型例题解析


例1、 已知不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever,b∈R+ ,求证:不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForevern+bn≥不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForevern-1b+不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForeverbn-1.(n不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForeverN)

分析:

  比较两个实数的大小,常根据实数的运算性质与大小顺序的关系,归结为判断它们的差的符号来确定. 证明此题要注意分类讨论。

证明:不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForevern+bn -(不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForevern-1b+不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForeverb n-1)


 =不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever(不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForevern-1-bn-1)-b(不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForevern-1-b n-1)

 =(不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever-b)( 不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForevern-1-bn-1)

 若不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever>b不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

 不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

 若不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever=b不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever(不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever-b)( 不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForevern-1-b n-1)=0.

 若不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever<b不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

 不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

 综上,不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever≥O,即不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForevern+b n -(不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForevern-1b+不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForeverb n-1)≥O

 ∴不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForevern+b n≥不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForevern-1b+不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForeverb n-1.


小结:

  比较大小常用作差法,一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方,前者将“差”变为“积”,后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”,也可两者并用.


例2、已知f(x)=px2-q,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.

分析:

  本题可考虑将f(3)写成f(1),f(2)的线性组合,即f(3)=mf(1)+nf(2)的形式,然后用不等式的运算性质推算f(3)的取值范围.

解答:依题意,有不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever


不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever


点评:

  (1)这种类型题目常见的错误是:


   由不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever,加减消元得0≤p≤3,1≤q≤7,

   从而得-7≤f(3)=9p-q≤26,事实上,f(3)不可能取到[-7,26]上的一切值.

   p,q是两个相互联系,相互制约的量,在得出0≤p≤3,1≤q≤7后,并不意味着p、q可以独立地取得区间[0,3]及[1,7]上的一切值,例如p=0,q=7时,p-q=-7已不满足-4≤p-q≤-1.


  (2)依不等式的性质求变量的范围是一种常见的题型,变形不等式时要防止扩大了变量的范围.


例3、(1)已知30<x<42,16<y<24,求不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever的取值范围.

   (2)已知a,b,x,y都是正数,且不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever,求证:不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

分析:(1)同向不等式不能相除,应先求出不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever的取值范围.

   (2)注意运用取倒法则,优化解题过程.

解:


(1)不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

   不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

(2)不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

   不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever


小结:

  不等式的性质中讲了加法和乘法运算,对于减法和除法必须转化为加法和乘法来运算,千万不能把等式的减、除法运算平移到不等式的运算中来.


例4、已知a,b,c都是正数,且a+b+c=1,求证:

   不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

 

分析:

  在不等式证明中,几个正数的和为1,常常作为条件出现在题设,这时用好这个“1”常常成为解题的关键.

证明:

(1) ∵ a+b+c=1,且a+b+c∈R+.

   不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

(2)∵ a,b,c∈R+且a+b+c=1.

   不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

(3)∵ a,b,c∈R+且a+b+c=1.

   不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

小结:

  以上各小题在证题过程中,或是将分子的1看作a+b+c,然后拆项,或是将原代数式乘以一个值为1 的因式(a+b+c)2以利用整理变形,这些常用的“1”的变换技巧很重要.


利用基本不等式不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever求最值:

  ①当不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever时,不等式不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever成立;

  ②当且仅当不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever时,不等式不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever中,“等号”成立;

  ③若不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever为定值,不等式即为不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever,当且仅当不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever时,不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever有最小值不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

  ④若不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever为定值,不等式即为不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever,当且仅当不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever时,不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever有最大值不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

  注:以上简称“和小积大”;有否最值的关键为是否有定值,且当不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever时,能否求出解来.


例5、若a>b>0,求证:不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever的最小值为3.

证:∵ a>b>0,∴ a-b>0,则


不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever


例6、(2005年,黄冈)已知实数a,b,c满足条件:不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever,其中m是正数,对于f(x)=ax2+bx+c.

  (1)求证:不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

  (2)当a为何值时,方程f(x)=0在(0,1)内有解?

分析:本题利用不等式的基本性质,充分体现了函数、方程与不等式之间的关系。

解:

  不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

  ∴m>0,∴不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever.

(2)f(0)=c,f(1)=a+b+c,当a>0时,由(1)知不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever,∴不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever.

  若c>0,f(0)=c>0,∴方程f(x)=0在(0,不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever)内有解.

  若c≤0,f(1)= a+b+c=a+(m-1)·不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever+c=不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever>0,

  ∴方程f(x)=0在不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever内有解.

  当a<0时,同理可证.

  由(1)知a≠0,故当a≠0时,方程f(x)=0在(0,1)内有解.

  应用问题与不等式的结合考查在高考中非常多见,尤其是运用重要不等式,求最值的题型.

例7、设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8cm的空白,左、右各留5cm的空白.怎样确定画面的高与宽尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小?(2001年全国高考题)

分析:

  先根据题意画出草图,设画面的宽为自变量x(cm),将所用纸张面积表示成x的函数,再求函数的最小值.

不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

解:如图所示,设画面的宽为xcm,则画面的高为不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever,设纸张面积为Scm2.

  不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

答:画面高为88cm,宽为55cm时,能使所用纸张面积最小.

例8、(97·全国·理·文)甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元.

  (1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;

  (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

分析:根据题意建立函数关系式,然后运用不等式的性质求最值.

解:


(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever,全程运输成本为不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

  故所求函数及其定义域为不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever.

(2)依题意知S,a,b,v都为正数,故有

  不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

  因为c-v≥0,且a>bc2,故有a-bcv≥a-bc2>0,

  所以不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever,且仅当v=c时等号成立,

  也即当v=c时,全程运输成本y最小.

  综上知,为使全程运输成本y最小,当不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever≤c时行驶速度应为v=不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

  当不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever>c时行驶速度应为v=c.


小结:

  与不等式有关的应用问题,在用重要不等式求最值时,应注意“正、定、等”三个字,即研究的对象为正数,积或和为定值,相等时取最小值或最大值.

例9、某公司某年需要某种计算机元件8000个,在一年内连续作业组装成整机卖出(每天需同样多的元件用手组装,并随时运出整机至市场),该元件向外购买进货,每次(不论购买多少件)须花手续费500元,如一次进货,可少花手续费,但8000个元件的保管费很可观,如果多次进货,手续费多了,但可节省保管费,请你帮该公司出个主意,每年进货几次为宜,该公司的库存保管费可按下述方法计算:每个元件每年2元,并可按比例折算成更短的时间:如每个元件保管一天的费用为不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever元(一年按360天计算).每个元件的买价、运输费及其他费用假设为一常数.

解:

  设购进8000个元件的总费用为F,一年总保管费为E,手续费为H,元件买价、运输费及其他费用为C(C为常数),则 F=E+H+C.

  如果每年进货n次,则每次进货不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever个,用完这些元件的时间是不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever年.进货后,因连续作业组装,一年后保管数量只有(不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever-a)个(a为一天所需元件),两天后只有(不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever-2a)个,……,因此不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever年中不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever个元件的保管费可按平均数计算,即相当于不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever个保管了不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever年,每个元件保管不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever年须不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever元,在这不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever年中不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever个元件的保管费为不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever.

  每进货一次,花保管费En元,一共n次,故

  不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever

  当且仅当不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever=n·500,即n=4时,总费用最少,故以每年进货4次为宜.

说明:

  这道寻求最佳进货次数的问题,是北京市首届“方正杯”中学生数学知识应用竞赛初赛试题(1993.11),求解的关键数学知识是“不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever的极小值是不等式的性质、算术平均数与几何平均数 - 古安宅 - HomeForever”.

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