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日志

 
 

求最大公约数和最小公倍数  

2015-03-17 10:33:59|  分类: 学习* |  标签: |举报 |字号 订阅

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--------------------------------最大公约数-----------------------------

1、查找约数法.

先分别找出每个数的所有约数,再从两个数的约数中找出公有的约数,其中最大的一个就是最大公约数. 例如,求 12 30 的最大公约数.

12 的约数有:1234612

30 的约数有:12356101530

12 30 的公约数有:1236,其中 6 就是 12 30 的最大公约数.

 

2 更相减损术

《九章算术》是中国古代的数学专著,其中的更相减损术可以用来求两个数的最大公约数,即可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也。以等数约之。翻译成现代语言如下:

第一步:任意给定两个正整数;判断它们是否都是偶数。若是,则用 2 约简;若不是则执行第二步。

第二步:以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的减数和差相等为止。

则第一步中约掉的若干个 2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。 其中所说的等数,就是最大公约数。求等数的办法是更相 减损法。

其中所说的等数,就是最大公约数。求等数的办法是更相减损法。所以更相减损法也叫等值算法。

 

1、用更相减损术求9863的最大公约数。

解:由于63不是偶数,把9863以大数减小数,并辗转相减:

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以,9863的最大公约数等于7

这个过程可以简单的写为:

9863=3563=3528=728=721=714=77=7.

2、用更相减损术求260104的最大公约数。

解:由于260104均为偶数,首先用2约简得到13052,再用2约简得到6526

此时65是奇数而26不是奇数,故把6526辗转相减:

65-26=39

39-26=13

26-13=13

所以,260104的最大公约数等于13乘以第一步中约掉的两个2,即13*2*2=52

这个过程可以简单地写为:

260,104=65,26=39,26=13,26=13,13=13.


 3
、辗转相除法.

辗转相除法:辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法,也叫欧几里德算法用辗转相除法求几个数的最大公约数,可以先求出其中任意两个数的最大公约数,再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数,依次求下去,直到最后一个数为止。最后所得的那个最大公约数,就是所有这些数的最大公约数

当两个数都较大时,采用辗转相除法比较方便.其方法是:

以小数除大数,如果能整除,那么小数就是所求的最大公约数.否则就用余数来除刚才的除数;再用这新除法的余数去除刚才的余数.依此类推,直到一个除法能够整除,这时作为除数的数就是所求的最大公约数.

例如:求44535767的最大公约数时,可作如下除法. 求最大公约数 - 古安宅 - HomeForever

5767÷44531 1314

4453÷13143 511

1314÷5112 292

511÷2921 219

292÷2191 73

219÷733

于是得知,5767 4453 的最大公约数是 73

辗转相除法适用比较广,比短除法要好得多,它能保证求出任意两个数的最大公约数.

 

求222 407求最大公约数:

222 407407除以222余数185)

222 185(222除以185余数37)

37 185185除以37余数0

所以最大公约数为37

 

比较辗转相除法与更相减损术的区别

1)都是求最大公因数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到。


 4
、求差判定法.

如果两个数相差不大,可以用大数减去小数, 所得的差与小数的最大公约数就是原来两个数的最大公约数.

例如:求 78 60 的最大公约数.

78601818 60 的最大公约数是 6,所以 78 60 的最大公约数是6

如果两个数相差较大,可以用大数减去小数的若干倍,一直减到差比小数小为止,差和小数 的最大公约数就是原来两数的最大公约数.

例如:求 92 16 的最大公约数.

921676 76166060164444162828161212 16 的最大公约数是 4,所 92 16 的最大公约数就是 4
 

5、分解因式法.

先分别把两个数分解质因数, 再找出它们全部公有的质因数,然后把这些公有质因数相 乘,得到的积就是这两个数的最大公约数.

例如:求 125 300 的最大公约数.因为

1255×5×5

3002×2×3×5×5

所以 125 300 的最大公约数是 5×525


6
、短除法.

为了简便, 将两个数的分解过程用同一个短除法来表示, 那么最大公约数就是所有除数的乘积.(短除法求最大公约数,先用这几个数的公约数连续去除,一直除到所有的商互质为止,然后把所有的除数连乘起来,所得的积就是这几个数的最大公约数。)

求最大公约数 - 古安宅 - HomeForever

例如:求 180 324 的最大公约数.

因为: 5 9 互质,所以 180 324 的最大公约数是 4×936

短除法求最小公倍数,先用这几个数的公约数去除每个数,再用部分数的公约数去除,并把不能整除的数移下来,一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止,然后把所有的除数和商连乘起来,所得的积就是这几个数的最小公倍数,例如,求121518的最小公倍数。

 求最大公约数 - 古安宅 - HomeForever

短除法的本质就是质因数分解法,只是将质因数分解用短除符号来进行。短除符号就是除号倒过来。短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数,然后落下两个数被公有质因数整除的商,之后再除,以此类推,直到结果互质为止(两个数互质)。

而在用短除计算多个数时,对其中任意两个数存在的因数都要算出,其它没有这个因数的数则原样落下。直到剩下每两个都是互质关系。求最大公因数便乘一边,求最小公倍数便乘一圈。无论是短除法,还是分解质因数法,在质因数较大时,都会觉得困难。

 

 

7、除法法.

当两个数中较小的数是质数时,可采用除法求解.即用较大的数除以较小的数,如果能够整除,则较小的数是这两个数的最大公约数.

例如:求 19 15213 273 的最大公约数.

因为 152÷198273÷1321.(19 13 都是质数.)

所以 19 152 的最大公约数是 1913 273 的最大公约数是 13

 

8、缩倍法.

如果两个数没有之间没有倍数关系,可以把较小的数依次除以 234……直到求得的商是较大数的约数为止,这时的商就是两个数的最大公约数.

例如:求 30 24 的最大公约数.24÷466 30 的约数,所以 30 24 的最大公约数是 6

 

3常用结论

在解有关最大公约数、最小公倍数的问题时,常用到以下结论:

1)如果两个自然数是互质数,那么它们的最大公约数是1,最小公倍数是这两个数的乘积。例如89,它们是互质数,所以(89=1[89]=72

2)如果两个自然数中,较大数是较小数的倍数,那么较小数就是这两个数的最大公约数,较大数就是这两个数的最小公倍数。例如18318÷3=6,所以(183=3[183]=18。(3)两个整数分别除以它们的最大公约数,所得的商是互质数。例如814分别除以它们的最大公约数2,所得的商分别为47,那么47是互质数。

4)两个自然数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 例如1216,(1216=4[1216]=48,有4×48=12×16,即(1216× [1216]=12×16

 

---------------------------最小公倍数-------------------------

 求最大公约数 - 古安宅 - HomeForever

最小公倍数(Least Common Multiple,缩写L.C.M.),如果有一个自然数a能被自然数b整除,则称ab的倍数,ba的约数,对于两个自然数来说,指该两数共有倍数中最小的一个。计算最小公倍数时,通常会借助最大公约数来辅助计算。

如果一个数既是a的倍数又是b的倍数,那么这个数就是a b的公倍数,如果这个数在a b的所有公倍数里为最小,那这个数就是最小公倍数。

 

求最大公约数 - 古安宅 - HomeForever

 自然数ab的最小公倍数可以记作[ab],自然数ab的最大公因数可以记作(ab),当(ab)=1,[ab]= a×b

如果两个数是倍数关系,则它们的最小公倍数就是较大的数;

相邻的两个自然数的最小公倍数是它们的乘积。

相邻偶数的最大公约数为2,最小公倍数为它们乘积的一半。

 

最小公倍数=两数的乘积/最大公约(因)数解题时要避免和最大公约(因)数问题混淆。

最小公倍数的适用范围:分数的加减法,中国剩余定理(正确的题在最小公倍数内有解,有唯一的解)

 

因为,素数是不能被1和自身数以外的其它数整除的数;素数XN次方,是只能被XN-1以下次方,1和自身数整除.所以,在求ABCDEZ的最小公倍数时,只需要把这些数分解为素数的N次方之间的乘积后,取各素因子的最高次方的乘积,就是这些数的最小公倍数.

 

求法:

首先把两个数的质因数写出来,最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积(如果有几个质因数相同,则比较两数中哪个数有该质因数的个数较多,乘较多的次数)。

 

比如求4530的最小公倍数。

45=3*3*5

30=2*3*5

不同的质因数是2

3、5是他们两者都有的质因数,由于45有两个330只有一个3,所以计算最小公倍数的时候乘两个3.

最小公倍数等于2*3*3*5=90

 

又如计算36270的最小公倍数

36=2*2*3*3

270=2*3*3*3*5

不同的质因数是5

2这个质因数在36中比较多,为两个,所以乘两次;

3这个质因数在270个比较多,为三个,所以乘三次。

最小公倍数等于2*2*3*3*3*5=540

2040的最小公倍数是40。

 

求最大公约数 - 古安宅 - HomeForever举例:

两个数的最大公因数是15,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少?

15×1=15,15×6=90;当a1b1分别是23,ab分别为15×2=30,15×3=45。所以,这两个数是1590或者3045

 

练习:

练习一

1,两个数的最大公因数是9,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少?

2,两个数的最大公因数是12,最小公倍数是60,求这两个数的和是多少?

3,两个数的最大公因数是60,最小公倍数是720,其中一个数是180,另一个数是多少?

例题2

两个自然数的积是360,最小公倍数是120,这两个数各是多少?上!!

分析我们把这两个自然数称为甲数和乙数。因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公因数与最小公倍数的积。根据这一规律,我们可以求出这两个数的最大公因数是360÷120=3。又因为(甲÷3=a,÷3=b),3×a×b=120,ab一定是互质数,所以,ab可以是140,也可以是58。当ab140时,所求的数是3×1=33×40=120;当ab58时,所求的数是3×5=153×8=24

练习二

1,3624的最大公因数和最小公倍数的乘积。

2,已知两个数的积是3072,最大公因数是16,求这两个数。

3,已知两个数的最大公因数是13,最小公倍数是78,求这两个数的差。

例题3

甲、乙、丙三人是朋友,他们每隔不同天数到图书馆去一次。甲3天去一次,乙4天去一次,丙5天去一次。有一天,他们三人恰好在图书馆相会,问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会?

分析从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会,相隔的天数应该是345的最小公倍数。因为345的最小公倍数是60,所以至少再过60天他们三人又在图书馆相会。

练习三

1,1路、2路和5路车都从东站发车,1路车每隔10分钟发一辆,2路车每隔15分钟发一辆,而5路车每隔20分钟发一辆。当这三种路线的车同时发车后,至少要过多少分钟又这三种路线的车同时发车?

2,甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步,甲跑一圈用120秒,乙跑一圈用80秒,丙跑一圈用100秒。问:再过多少时间三人第二次同时从起点出发?

3,五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷,二班的同学每6天去看一次,三班的同学每两周去看一次。如果六一儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷,那么,再过多少天他们三个班的同学再次同一天去张爷爷家?

例题4

一块砖长20厘米,宽12厘米,厚6厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块?

分析把若干个长方体叠成正方体,它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。现在要求长方体砖块最少,它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数,求出正方体棱长后,再根据正方体与长方体体积之间的关系就能求出长方体砖的块数。

练习四

1,用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体,至少需要用这样的长方体多少块?

2,200块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块,要把这些木块堆成一个尽可能大的正方体,这个正方体的体积是多少立方厘米?

3,一个长方体长2.7、宽1.8分米、高1.5分米,要把它切成大小相等的正方体小块,不许有剩余,这些小正方体的棱长最多是多少分米?

例题5

甲每秒跑3,乙每秒跑4,丙每秒跑2,三人沿600的环形跑道从同一地点同时同方向跑步,经过多少时间三人又同时从出发点出发?

分析甲跑一圈需要600÷3=200秒,乙跑一圈需要600÷4=150秒,丙跑一圈需要600÷2=300秒。要使三人再次从出发点一齐出发,经过的时间一定是200150300的最小公倍数。200150300的最小公倍数是600,所以,经过600秒后三人又同时从出发点出发。

练习五

1,有一条长400的环形跑道,甲、乙二人同时同地出发,反向而行,1分钟后第一次相遇;若二人同时同地出发,同向而行,则10分钟后第一次相遇。已知甲比乙快,求二人的速度。

2,一环形跑道长240,甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行,甲每秒行8,乙每秒行6,丙每秒行5。至少经过几分钟,三人再次从原出发点同时出发?

解:

240/8=30秒(甲一圈的时间)
240/6
40秒(乙一圈的时间)
240/5
48秒(丙一圈的时间)
要同时在出发点,那么最少的时间就是304048的最小公倍数240秒也就是4分钟。

 

3,甲、乙、丙三人在一条长240的跑道上来回跑步,甲每秒跑4,乙每秒跑5,丙每秒跑3。若三人同时从一端出发,再经过多少时间三人又从此处同时出[1]发?

应用实例:

分元宝

亡故的先父留下遗嘱,

共有遗产17个元宝,

老大得元宝的二分之一、 17/2=8.5

老二得元宝的三分之一、 17/3=5.66666

老三得元宝的九分之一、 17/9=1.8

问他们每一个人分别应该分几个元宝?

在《一代大商孟洛川》中是这样做的

孟洛川拿来一个元宝加上去

好了,现在分元宝

答案是:老大9个元宝、老二6个元宝、老三2个元宝。

还剩下一个元宝,是我们孟洛川的,拿回来

很不可思议吧

很简单的初中数学题老大分1/2,老二分1/3,老三分1/9

这三个数的最小公倍数就是18,9/18+6/18+2/18=17/18,就是说他们老爷子给的这个比例和根本就没到1,。即1-17/18=1/18,也就是说,直接分,那是分不完17元宝的。这样这要用18这个最小公倍数就能分开,最后还剩一个。


-------------------------已知最大公因数最小公倍数求这两个数----------------------------------------------

伴你成长学子园的博

例:两个数的最大公因数是12,最小公倍数是60,求这两个数的和是多少?

答案:1260 解答:

最小公倍数进行质因素分解:60=2^2*3*5

对最大公因数进行质因素分解:12=2^2*3 3

最小公倍数除以最大公约数60/12=5

5=1*5,故唯一答案为:12*1=1212*5=60

 

各类解法集: 

1.有两个数,最大公因数是12,最小公倍数是924,不是倍数关系,两数分别是多少求最大公约数和最小公倍数 - 古安宅 - HomeForever

方法一:924=2*2*3*7*11=12*7*11 
这两个数是: 
12*7=84 
12*11=132 

方法二:924/12=77 
77=7*11 
所以两个数是 
7*12=84 
11*12=132 
 


2.
两个数的最大公因数是8,最小公倍数是224,这样的数有( )对?

方法一:

设这两个数主8M8N(因为最大公因数为8,所以它们都可以表达为互质的MN8的积的形式),
8MN=224
MN=28
28=1*28=2*14=4*7(
保证两边不会再有公约数2*14除去)
所以有;
1
8M=88N=224
2
8M=328N=56
即是共两对。

方法二:

224/8=28=1*28=2*14=4*7(保证两边不会再有公约数2*14除去)
所以8*1=8 8*28=224
8*4=32 8*7=56
两组

3.
甲和乙两个数的最大公因数是6,最小公倍数是60,则甲、乙两数可以是?
60/6=10=2*5=1*10
最大公因数为,则6*2=12 6*5=30
6*1=6 6*10=60

4.
两个数的最大公因数是12,最小公倍数是180,这两个数分别是()和()或()和()?
180/12=15
15=1*15=3*5
因为最大公因数为12,所以12*1=12 12*15=180
12*3=36 12*5=60

 


 

思维训练
1
.火车站是410 路和901 路汽车的始发站,410 路每隔10 分钟发一次车,901 路每隔15 分钟发一次车,这两路汽车同时在早5 : 30 同时发车后,到中午12 10 分有多少次是同时发车的?

解:10和15的最小公倍数是30,所以每半小时相遇一次,一共遇到14次。
2
.兄弟三人同一天从家出发外出打工,老大15 天回家一次,老二20 天回家一次,老三10 天回家一次,下一次兄弟3 人同一天从家出发至少需要多少天?60天
3
.已知a b 的最大公因数是12 ,最小公倍数是72 ,且a b 不成倍数关系。求a b 各是多少?


一块砖长20厘米,宽12厘米,高6厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖多少块?

解:

20,12,6,的最小公倍数是60.

所以:

堆成正方体的边长是60.

60÷20=3.

60÷12=5.

60÷6=10

3×5×10+150(块)

答:要堆成正方体至少需要这样的砖150.


有一条长400的环形跑道,甲.乙两人同时同地出发,反向而行,1分钟后第一次相遇;若两人同时同地出发,同向而行,10分钟相遇。以知甲比乙快,求二人的速度.

解法一:

设甲速度为x,乙速度为y(单位为:m/分钟)
x>y
1*
x+y=400
10*
x-y=400
所以解得 x=220,y=180
所以甲速度为220/分钟(约3.67m/s,乙速度为180/分钟(3m/s)

 

解法二(最小公倍数)

400÷1=400 两人速度和
400÷10=40
甲的速度比乙速度快的

(可设甲的速度为V1,乙的速度为V2,则有V1-V2=40米,V1+V2=400米,所以甲的速度2V1=40+400)
所以甲的速度为:(400+40÷2=220/
乙的速度为:400-220=180/


甲、乙、丙三人沿着200的环形跑道跑步,甲跑完一圈要130秒,乙跑完一圈要120秒,丙跑完一圈要112秒,三人同时、同向、同地起跑,最少经过多少时间又在同一起跑线上相遇?相遇时甲、乙、丙三人各跑了多少圈?

考点:追及问题公约数与公倍数问题

考点微视频

分析:130秒等于90秒,120秒是80秒,112秒是72秒. 809072的最小公倍数是720,因此在720秒,即12分钟后三人在同一地点相遇.用720分别处以他们的速度即可得出多少圈.

解答:解:130=90秒,120=80秒,112=72秒.
1)求908072的最小公倍数.(908072=720,即最少经过720秒相遇;
2)甲:720÷90=8(圈),乙:720÷80=9(圈),丙:720÷72=10(圈);
答:最少经过720秒三人相遇.相遇时甲、乙、丙三人分别跑了8圈、9圈、10圈.

点评:此题属于追及问题,要弄清求他们所用时间的最小公倍数.

 

一环形跑道长240,甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行,甲每秒行8,乙每秒行6,丙每秒行5。至少经过几分钟,三人再次从原出发点同时出发?

解:

240/8=30秒(甲一圈的时间)
240/6
40秒(乙一圈的时间)
240/5
48秒(丙一圈的时间)
要同时在出发点,那么最少的时间就是304048的最小公倍数240秒也就是4分钟。


1/x:1/y:1/z=4:5:6,则使x+y+z=74成立的Y值是( )

A.24    B.36    C.74/3    D.37/2

 

1/x:1/y:1/z=4:5:6 x:y:z=1/4:1/5:1/6 x:y:z=(1/4×60):(1/5×60):(1/6×60)456最小公倍数60 x:y:z=15:12:10

先把xz y表示 得出 x=5/4y z=5/6y 5/4y+5/6y+y=74 得出 74y= 74*24 y= 24 x=30 z= 20

 

1/x : 1/y : 1/z =4:5:6
1/x=4/k,1/y=5/k,1/z=6/k
x=k/4, y=k/5, z=k/6
x+y+z=74
k/4+k/5+k/6=74
k=120
y=120/5=24

 

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