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菲波纳契数列  

2012-07-23 10:04:13|  分类: 学科考试 |  标签: |举报 |字号 订阅

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菲波纳契数列又称“菲波纳契神奇数列”,是由13世纪的意大利数学家菲波纳契提出的,当时是和兔子的繁殖问题有关的,它是一个很重要的数学模型。这个问题是:有小兔一对,若第二个月它们成年,第三个月生下小兔一对,以后每月生产一对小兔,而所生小兔亦在第二个月成年,第三个月生产另一对小兔,以后亦每月生产小兔一对,假定每产一对小兔必为一雌一雄,且均无死亡,试问一年后共有小兔几对?

  对于n=1,2,……,令Fn表示第n个月开始时兔子的总对数,BnAn分别是未成年和成年的兔子(简称小兔和大兔)的对数,则Fn = An + Bn

  根据题设,有:

月份n 1 2 3 4 5 6 ……
A_n 1 1 2 3 5 8 ……
B_n 1 1 1 2 3 5 ……
F_n 1 1 2 3 5 8 13 ……

  显然,F1 = 1F2 = 1,而且从第三个月开始,每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和,于是按此规律我们得到一个带有初值的递推关系式:

  begin{cases} F_n = F_{n-1}+F_{n-2}(nge 3,nin Z)  F_1 = 1,F_2=1 end{cases}

  若我们规定F0 = 1,则上式可变为:

  begin{cases} F_n = F_{n-1}+F_{n-2}(nge 2,nin Z)  F_0 = 1,F_1=1 end{cases}

  这就是Fibonacci数列的通常定义,也就是数列1、1、2、 3、5、8、13、 21、34、55、89、144、233、377、610、987、1597……,直至无限。这串数列的特点是:其中任一个数都是前两数之和。从上述数字看,系列由1、2、3开始,继而产生无限数字系列;这与《道德经》第四十二章:“道生一,一生二,二生三,三生万物”所包含的道理不谋而合。由神奇数字演变出来的比率(即黄金比率,golden ratio),是 0.236、0.382、0.5、0.618、0.764、1.618、2.618 等,上述比率有助推断未来高点或低点。

  这个兔子问题是意大利数学家莱昂纳多·菲波纳契(Leonardo Fibonacci)在他所著的《算盘全集》中提出的,所以这个数列称作菲波纳契数列,其中每一项称作Fibonacci数。

  它的通项是F_n = frac{1}{sqrt{5}}[(frac{1+sqrt{5}}{2})^{n+1}-(frac{1-sqrt{5}}{2})^{n+1}],由法国数学家比内(Binet)求出的。

菲波纳契数列的特点

  菲波纳契数列既谓神奇数字,上述数字自有神奇之处,其特点包括:

  1、从第三项起,任何一个数字均是其前两个数字的和数,例如1+1=2;1+2=3;2+3=5;3+5=8;5+8=13;8+13=21;13+21=34等。

  2、任何两个相隔的数字彼此顺序相除或倒转相除,所得数字分别接近0.382及2.618。

  接近0.382比率,例如:8÷21=0.381;13÷34=0.382;21÷55=0.382等。

  接近2.618比率,例如:21÷8=2.625;34÷13=2.615;55÷21=2.619等。

  3、除首四个数字(1、1、2、3)外,两个相邻数字彼此相除,所得数字分别接近0.618及1.618比率。

  接近0.618比率,例如:5÷8=0.625;8÷13=0.615;13÷21=0.619等。

  接近1.618比率,例如:8÷5=1.6;13÷8=1.625;21÷13=1.615等。

  在股市中,菲波纳契数列的作用在于预测未来走势的升跌幅。若配合波浪理论,可以神奇数字计算出预期的升跌幅度;藉此,投资者可推测短线、中线或长线走势的支持位或阻力位,及早趁低吸纳或趁早沽出。




引文来源  菲波纳契数列 - MBA智库百科
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